1 слайд

2 слайд

3 слайд

Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус ученик "короля математиков" Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX в. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.

4 слайд

Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг (1808 – 1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, – в 1862 году. Что же поразило этих двух немецких профессоров?

5 слайд

Лист Мёбиуса, лента Мёбиуса - топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем.

6 слайд

Благодаря этой ленте возникло множество самых различных изобретений. А сколько было написано самых различных книг и фантастических произведений - не перечесть. Вот например сюжет рассказа А. Дейча “Лента Мёбиуса”. В одном городе находился огромных размеров метрополитен. И вот однажды случилось так, что пути подземки пересеклись, и весь он стал напоминать огромную ленту Мёбиуса. Стоит ли говорить, что поезда один за другим начали исчезать, появляясь снова только через несколько месяцев

7 слайд

Применение листа Мёбиуса в технике Полоса ленточного конвейера выполненная в виде ленты Мёбиуса, позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается. В системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.

8 слайд

Конечно же главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета.

9 слайд

Лентой Мебиуса закручен путь в какую сторону не иди… Обязательно увидишь еще того Кого однажды встретил на пути… Если нужно кого-то догнать не трать сил, времени на ускорение… Лучше просто подождать или двинуться в обратном направлении…

Слайд 1

Удивительный лист Мёбиуса
1

Слайд 2

Предисловие
Многие знают, что такое лента (лист) Мёбиуса. Тем, кто ещё не знаком с удивительным листом, который относится к «математическим неожиданностям», я предлагаю вместе провести исследование и окунуться в светлое чувство познания.
2

Слайд 3

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят: лента Мёбиуса) придумал в 1858г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик «короля математиков» Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров Х1Х в. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса.
3

Слайд 4

Лист Мёбиуса – один из объектов области математики под названием «топология» (по-другому – «геометрия положений»). Удивительные свойства листа Мёбиуса – он имеет один край, одну сторону, – не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.
4

Слайд 5

Рассказывают, что открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.
Легенда
5

Слайд 6

Увлекательное исследование
Запаситесь несколькими листами обычной белой бумаги, клеем и ножницами.

6

Слайд 7

Берем бумажную ленту АВСD. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой D, а точка B с точкой С.
А
В
С
D
7

Слайд 8

Получим такое перекрученное кольцо
8

Слайд 9

?
Зададимся вопросом: сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как у любого другого? А ничего подобного. У него ОДНА сторона. Не верите? Хотите – проверьте: попробуйте закрасить это кольцо с одной стороны.
9

Слайд 10

Красим, не отрываемся, на другую сторону не переходим. Красим... Закрасили? А где же вторая, чистая сторона? Нету? Ну то-то.
10

Слайд 11

Теперь второй вопрос. Что будет, если разрезать обычный лист бумаги? Конечно же, два обычных листа бумаги. Точнее, две половинки листа. А что случится, если разрезать вдоль посередине это кольцо (это и есть лист Мёбиуса, или лента Мёбиуса) по всей длине? Два кольца половинной ширины? А ничего подобного. А что? Не скажу. Разрежьте сами.
?
11

Слайд 12

А вот что получилось у меня
Лента перекручена два раза.
12

Слайд 13

Теперь сделайте новый лист Мёбиуса и скажите, что будет, если разрезать его вдоль, но не посередине, а ближе к одному краю? То же самое? А ничего подобного!
?
13

Слайд 14

А вот что получилось у меня
14

Слайд 15

А если на три части? Три ленты? А ничего подобного!

Крутим, ?\?_?j?l?b?f , ?j?Z?a?j?_?a?Z?_?f Выполнила ученица 6 класса Карагандинской основной школы Рыжик Галина Задачи проекта: самостоятельно найти литературу о листе Мбиуса; экспериментальным путм выяснить свойства листа Мбиуса; показать необычность этой геометрической поверхности; убедить в том, что лента Мбиуса нашла применение во многих привычных для нас сферах жизни; доказать актуальность выбранной мною темы. Изготовление листа Мбиуса Лист Мбиуса – один из объектов области математики под названием «топология», по - другому – «геометрия положений». Удивительные свойства листа Мбиуса – он имеет один край, одну сторону, – не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и, тем не менее, имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. Таинственный и знаменитый лист Мбиуса открыл в 1858 г. немецкий геометр Август Мбиус(1790 - 1868), ученик «короля математики» Гаусса. Директор Лейпцигской астрономической обсерва - тории, А.Мбиус был разносторонним учным. В те времена занятия математи - кой не встречали поддержки, а должность в обсерватории давала достаточно денег, чтобы не думать о них и оставляла время для размышлений. И Мбиус стал одним из крупнейших геометров своего времени. Мёбиус Август Фердинанд В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие порази - тельной красоты. Он открыл односторонние поверхности, одна из которых – лист Мбиуса. Мбиус является одним из осно - вателей современной топологии. Эксперименты для всех вопрос гипотеза эксперимент Число перекручиваний 0. Что будет, если разрезать кольцо? Получим 2 кольца, которые уже в 2 раза Получили 2 кольца, которые уже в 2 раза Число перекручиваний 1. Что будет, если ЛМ разрезать вдоль посередине Получим 2 кольца Кольцо, перекрученное на 2 полуоборота, оно уже в 2 раза больше исходного На разных сторонах ЛМ сидят муха и паук. Может ли паук подкрасться к мухе, не переходя через край ленты? Да, сможет По не перекрученному кольцу нет, а по перекрученному - да Искусство и технология Международный символ переработки представляет собой Лист Мбиуса. Чудесные свойства ленты тут же породили множество научных трудов, изобретений, а также многочисленных фантастических рассказов. Есть гипотеза, что спираль ДНК человека сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса. Невероятный проект новой библиотеки в Астане, Казахстан. Лента Мбиуса в скульптуре представлена в различных вариантах: от традиционных до самых невероятных… Данная скульптура составлена из множества консервных банок Лист Мбиуса и шар Литография с муравьями принадлежит известному голландскому художнику Морису Эшеру Монумент у здания Президиума Национальной академии наук В Минске Памятник ленте Мбиуса в Москве В практике индийской йоги используется принцип движения энергетических потоков по траектории листа Мбиуса. Среди ювелирных изделий также встречается лента Мбиуса. Лист Мебиуса – символ математики, Что служит высшей мудрости венцом… Он полон неосознанной романтики: В нем бесконечность свернута кольцом. В нем – простота, и вместе с нею – сложность, Что недоступна даже мудрецам: Здесь на глазах преобразилась плоскость В поверхность без начала и конца. Здесь нет пределов, нет ограничений, Стремись вперед и открывай миры, Почувствуй силу новых ощущений, Прими познанья высшего дары. Выводы о проделанной работе: прочитав определнную литературу, я познакомилась с геометрической поверхностью лентой Мбиуса; анализируя собранный материал, я увидела необычность этой ленты; экспериментальным путм я показала, что лист Мбиуса является односторонней поверхностью, что необычно для трхмерной фигуры; я провела восемь опытов с листом и доказала, что он изменяет свои свойства при разрезании; увидела, что усложнение эксперимента не приводит к более эффектным результатам; пыталась убедить, что лента Мбиуса нашла применение во многих привычных для нас сферах жизни; считаю правильным, что лист Мбиуса считают символом современной математики, так как именно он дал толчок новым математическим исследованиям. Использованная литература. Ссылки литературы: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0 %B8%D1%81%D1%82_%D0%9C%D1% 91%D0%B1%D0%B8%D1%83%D1%81 %D0%B0%7C http://www.log - in.ru/articles/1360/%7C http://sola.narod.ru/top.htm%7C http://buckses.info/fizika/ Ссылки картинок: - http://lenta.ru/news/2009/06/29/mobius/ - http://www.ka - gold - jewelry.com/russian/p - products/mobius - ring - silver.php http://mosday.ru/photos/gallery.php?alt =11 &group=monument®ion=moscow_ham ovniki&rows=all&size=9

Предмет исследования: Частный вид развёртывающейся поверхности – лента Мёбиуса Цель исследования: Изучить разнообразные свойства ленты Мёбиуса. Найти, где используются ее свойства. Гипотеза: Все свойства ленты Мёбиуса не изучены. С помощью свойств можно объяснить многие явления в нашей жизни.

В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений. Я рассмотрела применение листа Мёбиуса в науке, технике и изучении свойств Вселенной. Уже сейчас лента Мёбиуса находит различное применение в быту. Мной была проделана работа по доказательству свойств ленты Мёбиуса. Изучались свойства ленты на наглядных примерах.

МЕБИУС Август Фердинанд (), немецкий математик. Труды по геометрии. Установил существование односторонних поверхностей (лист Мёбиуса).

Простейшая односторонняя поверхность, рассмотренная А. Мёбиусом; получается при склеивании двух противоположных сторон АВ и А " В " прямоугольника АВВ " А " так, что точки А и В совмещаются соответственно с точками В " и А ".

Лента Мёбиуса - бумажная лента, повернутая одним концом на пол - оборота (то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом. Поверхность ленты Мёбиуса имеет только одну сторону. Следуют удивительные превращения ленты. Если разрезать ее вдоль, точно посередине - получится не две, а одна лента. А вот если разрезать ленту на расстоянии 1/3 ее ширины от края, то получаются два кольца - но! - одно большое и сцепленное с ним маленькое. Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль посередине, то у вас окажется весьма « затейливое » переплетение двух колец - одинаковых по размеру, но разных по ширине.

1. Односторонность - топологическое свойство листа Мёбиуса, характерное только для него. 2. Непрерывность - с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывность. 3. Ориентированность свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. 4. Связность - чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Но вот чтобы располовинить кольцо, потребуется уже два разреза. Что касается листа Мёбиуса, то количество связей меняется в зависимости от смены количества оборотов ленты

Лента Мебиуса используется во многих изобретениях. 18 лет назад ленточке нашли совсем другое применение она стала выполнять роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно, взведенная пружина срабатывает в противоположном направлении. Лента Мебиуса же, поправив все законы направления, срабатывания не меняет, подобно механизмам с двумя устойчивыми положениями.

Лист Мёбиуса служил вдохновлением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных лист Мёбиуса II, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса - вот наглядный образец Того, что и конец - то - не конец Любого дела, а лишь новое начало с того, Что в деле первом окончание обозначало! Он говорит тому, кто хочет слышать, Что как ни трудно, всё же надо выжить, Отчаянье из сердца выжечь И выйти из очередной житейской передряги - Для бодрости хлебнув глоток из фляги, Взять да и минус поменять на плюс, Чтоб полной жизнью вновь забился пульс.

Мной была проделана работа по рассмотрению некоторых свойств ленты Мёбиуса. Для доказательства были использованы свойства развертывающихся поверхностей. Изучались свойства ленты на наглядных примерах. Некоторые свойства ленты Мёбиуса могут быть полезными для тех, кто начинает изучать топологию, так как более просты и понятны.

Атанасян, Л. С, Гуревич, Г. Б. Геометрия. - Ч М: Просвещение, Квант: научно - популярный журнал, 7; 1977, 7. Смирнов, С. Г. Библиотека « Математическое просвещение ». - Вып М.: МЦНМО, Возможности сети « ИНТЕРНЕТ ».