Еще одна популярная задача теории вероятностей (наравне с задачей о подбрасывании монет) - задача о подбрасывании игральных костей .

Обычно задача звучит так: бросается одна или несколько игральных костей (обычно 2, реже 3). Необходимо найти вероятность того, что число очков равно 4, или сумма очков равна 10, или произведение числа очков делится на 2, или числа очков отличаются на 3 и так далее.

Основной метод решения подобных задач - использование формулы классической вероятности , который мы и разберем на примерах ниже.

Ознакомившись с методами решения, вы сможете скачать супер-полезный при бросании 2 игральных костей (с таблицами и примерами).

Спасибо, что читаете и делитесь с другими

Одна игральная кость

С одной игральной костью дело обстоит до неприличия просто. Напомню, что вероятность находится по формуле $P=m/n$, где $n$ - число всех равновозможных элементарных исходов эксперимента с подбрасыванием кубика или кости, а $m$ - число тех исходов, которые благоприятствуют событию.

Пример 1. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность, что выпало четное число очков?

Так как игральная кость представляет собой кубик (еще говорят, правильная игральная кость , то есть кубик сбалансированный, так что выпадает на все грани с одинаковой вероятностью), граней у кубика 6 (с числом очков от 1 до 6, обычно обозначаемых точкам), то и общее число исходов в задаче $n=6$. Благоприятствуют событию только такие исходы, когда выпадет грань с 2, 4 или 6 очками (только четные), таких граней $m=3$. Тогда искомая вероятность равна $P=3/6=1/2=0.5$.

Пример 2. Брошен игральный кубик. Найти вероятность выпадения не менее 5 очков.

Рассуждаем также, как и в предыдущем примере. Общее число равновозможных исходов при бросании игрального кубика $n=6$, а условию "выпало не менее 5 очков", то есть "выпало или 5, или 6 очков" удовлетворяют 2 исхода, $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/6=1/3=0.333$.

Даже не вижу смысла приводить еще примеры, переходим к двум игральным костям, где все интереснее и сложнее.

Две игральные кости

Когда речь идет о задачах с бросанием 2 костей, очень удобно использовать таблицу выпадения очков . По горизонтали отложим число очков, которое выпало на первой кости, по вертикали - число очков, выпавшее на второй кости. Получим такую заготовку (обычно я делаю ее в Excel, файл вы сможете скачать ):

А что же в ячейках таблицы, спросите вы? А это зависит от того, какую задачу мы будем решать. Будет задача про сумму очков - запишем туда сумму, про разность - запишем разность и так далее. Приступаем?

Пример 3. Одновременно бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет менее 5 очков.

Сначала разберемся с общим числом исходов эксперимента. когда мы бросали одну кость, все было очевидно, 6 граней - 6 исходов. Здесь костей уже две, поэтому исходы можно представлять как упорядоченные пары чисел вида $(x,y)$, где $x$ - сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ - сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких пар чисел будет $n=6\cdot 6=36$ (и им соответствуют как раз 36 ячеек в таблице исходов).

Вот и пришло время заполнять таблицу. В каждую ячейку занесем сумму числа очков выпавших на первой и второй кости и получим уже вот такую картину:

Теперь эта таблица поможем нам найти число благоприятствующих событию "в сумме выпадет менее 5 очков" исходов. Для этого подсчитаем число ячеек, в которых значение суммы будет меньше 5 (то есть 2, 3 или 4). Для наглядности закрасим эти ячейки, их будет $m=6$:

Тогда вероятность равна: $P=6/36=1/6$.

Пример 4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение числа очков делится на 3.

Составляем таблицу произведений очков, выпавших на первой и второй кости. Сразу выделяем в ней те числа, которые кратны 3:

Остается только записать, что общее число исходов $n=36$ (см. предыдущий пример, рассуждения такие же), а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=20$. Тогда вероятность события будет равной $P=20/36=5/9$.

Как видно, и этот тип задач при должной подготовке (разобрать еще пару тройку задач) решается быстро и просто. Сделаем для разнообразия еще одну задачу с другой таблицей (все таблицы можно будет скачать внизу страницы).

Пример 5. Игральную кость бросают дважды. Найти вероятность того, что разность числа очков на первой и второй кости будет от 2 до 5.

Запишем таблицу разностей очков, выделим в ней ячейки, в которых значение разности будет между 2 и 5:

Итак, что общее число равновозможных элементарных исходов $n=36$, а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=10$. Тогда вероятность события будет равной $P=10/36=5/18$.

Итак, в случае, когда речь идет о бросании 2 костей и простом событии, нужно построить таблицу, выделить в ней нужные ячейки и поделить их число на 36, это и будет вероятностью. Помимо задач на сумму, произведение и разность числа очков, также встречаются задачи на модуль разности, наименьшее и наибольшее выпавшее число очков (подходящие таблицы вы найдете в ).

Другие задачи про кости и кубики

Конечно, разобранными выше двумя классами задач про бросание костей дело не ограничивается (просто это наиболее часто встречаемые в задачниках и методичках), существуют и другие. Для разнообразия и понимания примерного способа решения разберем еще три типовых примера: на бросание 3 игральных костей, на условную вероятность и на формулу Бернулли.

Пример 6. Бросают 3 игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпало 15 очков.

В случае с 3 игральными костями таблицы составляют уже реже, так как их нужно будет аж 6 штук (а не одна, как выше), обходятся простым перебором нужных комбинаций.

Найдем общее число исходов эксперимента. Исходы можно представлять как упорядоченные тройки чисел вида $(x,y,z)$, где $x$ - сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ - сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6), $z$ - сколько очков выпало на третьей кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких троек чисел будет $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ .

Теперь подберем такие исходы, которые дают в сумме 15 очков.

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

Получили $m=3+6+1=10$ исходов. Искомая вероятность $P=10/216=0.046$.

Пример 7. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало не более 4 очков, при условии, что сумма очков четная.

Наиболее простой способ решения этой задачи - снова воспользоваться таблицей (все будет наглядно), как и ранее. Выписываем таблицу сумм очков и выделяем только ячейки с четными значениями:

Получаем, что согласно условию эксперимента, всего есть не 36, а $n=18$ исходов (когда сумма очков четная).

Теперь из этих ячееек выберем только те, которые соответствуют событию "на первой кости выпало не более 4 очков" - то есть фактически ячейки в первых 4 строках таблицы (выделены оранжевым), их будет $m=12$.

Искомая вероятность $P=12/18=2/3.$

Эту же задачу можно решить по-другому , используя формулу условной вероятности . Введем события:
А = Сумма числа очков четная
В = На первой кости выпало не более 4 очков
АВ = Сумма числа очков четная и на первой кости выпало не более 4 очков
Тогда формула для искомой вероятности имеет вид: $$ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}. $$ Находим вероятности. Общее число исходов $n=36$, для события А число благоприятствующих исходов (см. таблицы выше) $m(A)=18$, а для события АВ - $m(AB)=12$. Получаем: $$ P(A)=\frac{m(A)}{n}=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}; \quad P(AB)=\frac{m(AB)}{n}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3};\\ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{1/3}{1/2}=\frac{2}{3}. $$ Ответы совпали.

Пример 8. Игральный кубик брошен 4 раза. Найти вероятность того, что четное число очков выпадет ровно 3 раза.

В случае, когда игральный кубик бросается несколько раз , а речь в событии идет не о сумме, произведении и т.п. интегральных характеристиках, а лишь о количестве выпадений определенного типа, можно для вычисления вероятности использовать формулу Бернулли .

Итак, имеем $n=4$ независимых испытания (броски кубика), вероятность выпадения четного числа очков в одном испытании (при одном броске кубика) равна $p=3/6=1/2=0.5$ (см. выше ).

Тогда по формуле Бернулли $P=P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$, подставляя $k=3$, найдем вероятность того, что четное число очков появится 3 раза: $$ P_4(3)=C_4^3 \cdot \left(1/2\right)^3 \cdot \left(1-1/2\right)^1=4 \cdot \left(1/2\right)^4=1/4=0,25. $$

Приведем еще пример, решаемый аналогичным образом.

Пример 9. Игральную кость бросают 8 раз. Найти вероятность того, что шестёрка появится хотя бы один раз.

Подставляем в формулу Бернулли следующие значения: $n=8$ (число бросков), $p=1/6$ (вероятность появления 6 при одном броске), $k\ge 1$ (хотя бы один раз появится шестерка). Прежде чем вычислять эту вероятность, напомню, что практически все задачи с формулировкой "хотя бы один..." удобно решать, переходя к противоположному событию "ни одного...". В нашем примере сначала стоит найти вероятность события "Шестёрка не появится ни разу", то есть $k=0$: $$ P_8(0)=C_8^0 \cdot \left(1/6\right)^0 \cdot \left(1-1/6\right)^8=\left(5/6\right)^8. $$ Тогда искомая вероятность будет равна $$ P_8(k\ge 1)=1-P_8(0)=1-\left(5/6\right)^8=0.767. $$

Полезные ссылки

Для наглядного и удобного расчета вероятностей в случае бросания двух игральных костей я сделала
Файл с таблицами для расчета вероятности

В нем приведены таблицы суммы, произведения, разности, минимума, максимума, модуля разности числа очков. Вводя число благоприятствующих исходов в специальную ячейку вы получите рассчитанную вероятность (в обычных и десятичных дробях). Файл открывается программой Excel .

Игральные кости используются человеком тысячи лет.

В 21 веке новые технологии позволяют бросить кубик в любое удобное время, а при наличии доступа в Интернет в удобном месте. Игральный кубик всегда с вами дома или в дороге.

Генератор игральных костей позволяет кинуть онлайн от 1-го до 4-х кубиков.

Кинуть кубик онлайн по-честному

При использовании реальных костей может использоваться ловкость рук или специально сделанные кубики с перевесом на одну из сторон. Например, можно раскрутить кубик вдоль одной из осей, и тогда измениться распределение вероятностей. Особенностью наших виртуальных кубиков является применение програмного генератора псевдослучайных чисел. Это позволяет обеспечить, действительно, случайный вариант выпадения того или этого результата.

А если вы добавите эту страницу в закладки, то ваши онлайн игральные кубики никуда не потеряются и будут в нужный момент всегда под рукой!

Некоторые люди приспособились применять игральные кости онлайн для гадания или составления прогнозов и гороскопов.

Весёлого настроения, хорошего дня и удачи!

В древности, когда "погадать на будущее" было столь же обыкновеннным делом, как для нас - включить телевизор, чтобы узнать прогноз погоды, многие вопросы без лишней волокиты решались с помощью жребия. Древние евреи распределяли таким образом участки земли, греки заставляли тянуть жребий кандидатов на общественные должности.

Жребием же первоначально служила кость , а именно надкопытная кость ноги коровы или быка, "бабка", по-гречески astragalos. Она имеет почти кубическую форму и разные грани: одна - гладкая, другая с выемкой, третья, наоборот, с выпуклостью и т.д. Древние верили, что форма эта не случайна, что именно при помощи этой кости можно точнее всего узнать волю богов.

Мы же попробуем применить к костям современный интуитивный метод. Ведь цифры, нанесенные на их грани, - это нумерология почти в чистом виде, то есть числа, с каждым из которых связаны определенные ассоциации. И мы предлагаем Вам несколько гаданий игральными костями.

выберите вопрос

В XI веке в Византии сложилась астрагаломантия - искусство предсказания будущего по игральным костям. На их гранях писали буквы, которые при бросании складывадись в слова. Играть в кости тоже продолжали - даже активнее, чем прежде. Крестоносцы и привезли кости в Западную Европу как новую азартную игру.

Отсюда до приобретения игральными костями их современной формы оставалось уже недолго. В 1453 году пал Константинополь, в Европе наступила эпоха Возрождения. Церковные и королевские запреты на азартные игры утратили силу, и европейцы принялись играть. Именно тогда, кстати, и карты Таро (не без влияния Византии) начали превращаться в обычные игральные карты. В XV веке в кости с нанесенными на их грани шестью цифрами (точками) начала играть итальянская, а за ней французская и немецкая знать.

Отдельно хочется обратить Ваше внимание на интересное любовное гадание на игральных костях. Ответ выдается в виде нескольких зарифмованных строчек в зависимости от суммы чисел, выпавших на обоих кубиках.

Для начала выберите вопрос. Мысленно произнесите его в уме и нажмите на кубики. После этого Вам будет дан ответ в зависимости от общей суммы чисел, выпавших на кубиках. При двух шестёрках, которые обозначают неопределенность ситуации, вы должны будете еще раз кинуть кубики.

Другие два гадания, использующие один и два кубика, очень хорошо подойдут, если Вы хотите побольше узнать о Вашем настоящем положении или о вероятном будущем. Цифры, выпавшие на верхних гранях, и послужат ответом на заданный вопрос.

Если вы бросаете не один, а два кубика, при интерпретации следует учитывать не только числа, выпавшие на каждой кости в отдельности, но и их общую сумму. Так, если у вас выпали 3 и 2, то это не просто сочетание тройки и двойки, но и сумма этих чисел. Важно отметить, что толкование для суммы покажется только в том случае, если она будет не больше шести. Это толкование было взято из гадания с одним кубиком, а шесть - это максимальное число, которое может выпасть на одном игральном кубике.

Вам остается выбрать способ и приступить непосредственно к гаданию. Перед началом гадания желательно определить период времени, на который делается прогноз, например, один день, неделя, месяц или год. Постарайтесь расслабиться и полностью сосредоточиться на своем вопросе.

Каждый уважающий себя настольщик обязательно коллекционирует игральные кости . Кубики выбираются очень внимательно, их бережно хранят и свято верят, что они приносят удачу, если их правильно подобрать.

В данной статье мы поговорим о разнообразии кубиков. Быть может именно такие игральные кости Вы мечтали добавить в свою коллекцию, но никогда не догадывались об их существовании.

Традиционные игральные кости.

Самым старинным и простым видом кубика считают шестигранные игральные кости. Их можно использовать во всех традиционных играх; начиная с нард и заканчивая монополией. Все мы в детстве играли в различные настольные игры, используя шестигранные кости. Зачастую их изготавливали из недорогой пластмассы и красили в яркие цвета.

Игровые кости круглой формы.

Довольно интересная вариация шестигранной кости , которая внешним видом напоминает шарик. Благодаря ловко размещенным внутри дробинкам кубик свободно катается, но останавливается шарик только одной гранью.

Ролевые игральные кости.

Всем известна настольная ролевая игра Dungeons&Dragons, прославившая комплект из семи костей с числами 4, 6, 8, 10, 12, 20. В наборе из десятигранных игральных костей существует две кости, которые одновременно подкинув можно получить в итоге число 1-100.

Стогранные игровые кости.

В приведенной выше игре существует такое замечательное отличие, как замена 2 десятигранных игральных костей , на одну 100 гранную. Такая разновидность кубика характеризуется шарообразной формой, которая позволяет ему свободно кататься. Стогранные игровые кости, как правило, создают большими и тяжелыми, чтобы упростить подсчет получившегося числа без помощи очков.

Пятигранные игральные кости.

Точная наука математика установила, что треугольная призма со своими гранями (если быть конкретными, то 5 гранями) обладает при броске равными шансами на выпадение. Данный вид игральных костей не используется ни в одной настольной игре, поскольку кубик создан с целью прославить математику как науку.

Календарные игральные кости.

Можно хорошенько повеселиться с друзьями, если подменить игральный кубик на кубик из календаря. Последние используются, дабы показывать даты и месяца. Будет весело наблюдать за реакцией игроков, которые не заметили подмены, когда в момент броска на шестигранной игровой кости выпадут числа: 2,9,8,7.

Кубики со смещенным центром тяжести.

Созданные для мошенничества. Внутри кубика расположена металлическая дробинка, благодаря которой цифра 6 выпадает гораздо чаще, чем иные номера. К сожалению, по внешнему виду отличить такие кубики от стандартных костей невозможно.

Одногранные игральные кости.

Их еще называют гембец. Они всегда в момент броска выпадают на стол одной гранью. Это очередное творение гениев математиков. Увы, такое же сложное и такое же бесполезное.

Математические мгральные кости.

На этот раз профессиональные математики создали игральные кости, которые вполне можно использовать на практике. Однако если у вас есть трудности в математике, то они не для вас. Поскольку не каждый человек догадается, что выпавшая комбинация «корень кубический из 64-3» обозначает элементарную единицу.

Вложенные игральные кости.

В одном прозрачном крупном кубе расположили несколько меньших по размеру. Применение такого вида игральных костей очень удобно, когда по правилам игры необходимо сразу выбросить несколько костей. Ко всему прочему использование такого вида кубика будет выглядеть достаточно эффектно.

Светящиеся игровые кубики.

Такая разновидность игральных костей очень пригодится игрокам, у которых внезапно пропал свет, поскольку, используя светящиеся игральные кости можно легко и просто окончить партию. Они незаменимы для детей, поскольку ночью под одеялом ими свободно можно играться.

Кубики - история игры.

Очень древняя азартная игра в истории человечества.

Схожие на игральные кубики предметы существовали во многих цивилизациях. Такую просторную географию игральных костей связывают с поверьем, что кубики были посланы богами, дабы люди не беспокоили их по мелочам. В Древнем Риме считали, что в момент броска человеку помогала Фортуна - богиня удачи.

Помогали урегулировать военные конфликты. Их помощью даже определяли нового правителя. В медицине благодаря костям предсказывали будущее. Самые разнообразные предметы заменяли предкам современные шестигранные игральные кубики. К примеру, шаманы в своих ритуалах применяли фруктовые кости, морские ракушки и даже овечьи рога, зубы и кости. Любители настольных игр в Древней Индии вместо кубика бросали 4-х гранный конус.

Желание обмануть своего соперника зародилось одновременно с применением игральных костей в азартных играх. Доказательством служит тот факт, что при раскопках Помпеи были обнаружены кости со смещенным центром тяжести. Их использование гарантировало игроку большие шансы на выпадение нужной комбинации. Активную борьбу с мошенниками вели еще в средневековой Европе. Тогда создали Гильдию производителей костей. Ее миссия состояла в отслеживании неправильных либо тяжелых игровых костей.

Игральные кости изготавливали из самых различных материалов - янтаря, мрамора, бронзы, алебастра, горного хрусталя и агата. Признаком великого достатка и хорошего вкуса было принято считать игральные кости, изготовленные из фарфора, слоновой кости и серебра.

Инструкция

Выберите материал для изготовления кубика с учетом имеющихся у вас инструментов и навыков.

Изготовьте из выбранного вами материала точный куб со стороной порядка десяти миллиметров.

Снимите со сторон, а затем с углов куба фаски размерами около 1 мм на 45 градусов. При необходимости отполируйте изделие.

Нанесите на грани кубика обозначения чисел. Необходимые для этого точки можно выполнить в виде углублений, высверлив их микродрелью, либо нанести краской, либо получить комбинированным способом, сначала сделав углубления, а затем заполнив их краской.На верхнюю грань нанесите шесть точек (два ряда по три точки);
На нижнюю грань нанесите одну точку (посередине);
На левую грань нанесите четыре точки (два ряда по две точки);
На правую грань нанесите три точки (по диагонали);
На переднюю грань нанесите пять точек (четыре в виде матрицы 2 на 2 и одну посередине);
На заднюю грань нанесите две точки (по диагонали).Проверить, правильно ли распределены обозначения чисел по граням кубика, можно, сложив числа на противоположных гранях: для каждого из их сочетаний сумма должна равняться семи.

Покройте все грани кубика, кроме одной, на которой он будет лежать при высыхании, бесцветным лаком. Дайте ему высохнуть, затем переверните изделие таким образом, чтобы эта грань оказалась сверху. Покройте лаком и ее, после чего также дайте высохнуть.

Обзаведитесь виртуальным игральным кубиком. Для этого возьмите свой мобильный телефон и установите в него интерпретатор языка Бейсик, скачав его с соответствующего сайта.Запустив интерпретатор, введите такую программу:
10 A%=MOD(RND(0),4)+3
20 IF A%=0 THEN GOTO 10
30 PRINT A%
40 ENDПри каждом запуске командой RUN эта программа будет генерировать случайное число в диапазоне от 1 до 6.

Чтобы проверить кубик на точность, получите с его помощью несколько десятков случайных чисел , после чего подсчитайте, сколько раз встречается каждое из них. У точно изготовленного кубика вероятности выпадения каждого из чисел должны быть близкими.

Хоть в наши дни популярность настольных игр достаточно мала, не забывайте порядок их проведения. В начале фишки всех игроков ставятся на начальную клетку. Игроки бросают кости по очереди. Получив случайное число, игрок перемещает свою фишку вперед на соответствующее ему количество клеток. Если клетка, на которой в результате окажется фишка , содержит указание (пропустить следующий ход, повторить ход, переместиться в заданное место игрового поля и тому подобное), это указание следует выполнить.Побеждает игрок, первым добравшийся до финишной клетки поля.

Кубики для игр делали из кости животных, которые были наиболее прочным и долговечным материалом. Изготовленные из дерева кубики быстро приходили в негодность, истирались, растрескивались. Чаще всего использовались бараньи кости, так называемые «бабки», которые представляли собой сустав ноги животного над его копытной частью. Такие атрибуты нередко служили символом достатка в доме, бедняки же для изготовления костей использовали различные материалы, вплоть до косточек персика или сливы.

В более поздние времена игральные кости стали изготавливать из бивней слона, а зажиточные люди могли себе позволить кости из полудрагоценных камней – оникса, агата или янтаря.

С появлением пластмассы кубики стали делать из нее. Материал недорогой и очень прочный, что немаловажно, учитывая сколько раз кубик, выброшенный вверх, падает на твердую поверхность.

Уже давно кубики используют не только для азартных игр, очень часто ими пользуются в детских настольных играх. В зависимости от сочетания точек на гранях кубиков, двигаются фишки на поле игры.

Игра как ритуал

В древнем Риме азарт игры в кости достиг таких размеров, что властями был издан указ, запрещающий игру в кости. Свою роль сыграла и инквизиция, которая усмотрела в костях бесовский соблазн. Только в 1396 году запрет был снят.

У славян игра в кости называлась игрой в костыли или козули. Суть игры заключалась в том, что играющие договаривались о том, какие грани костей считать выигрышными. После этого кости выбрасывались на стол, и победителем считался тот, кто угадывал сочетание цветов на гранях костей. Дело в том, что на Руси грани костей раскрашивались в черный и красный цвет. Могло быть и другое сочетание.

Гораздо позднее на гранях кубика стали делать отметки, которые представляют собой выемки в виде одной, двух, трех, четырех, пяти или шести точек на плоскости одной грани. Для домашних игр кубики приобретают промышленного изготовления. Обычно они черного цвета с белыми точечными отметинами.

В игорных домах допускается применение кубиков только ручного изготовления. Они должны быть одинакового веса, точными гранями, допустимая погрешность при изготовлении не более 0,013 мм. Такая точность играет большую роль на приземление кости, а значит на шанс выигрыша. Перед каждой игрой крупье обязан достать новые кубики и показать их игрокам. При малейшем сомнении в качестве изготовления кубиков они заменяются.

Источники:

• игральные кубики